! 利用網路上免費軟體進行天體運行的計算-
! 特洛依小行星群

!! 作者:黃茂誠,許鈞筌
!! 指導老師:游大立
!!研究題目:特洛伊的戰爭
!!壹、研究動機:
->在荷馬的史詩中(依利亞特)中,紀錄著特洛依戰爭[=(Trojan War)=]一場關於希臘和特洛依，兩大陣營的戰爭，為期十年的戰爭，最後由木馬計謀結束，戰後繁榮的特洛依城一夜間消失於世上。特洛依小行星群[=(Trojan Asteroids)=]的命名由來則是因為天文學家把其中位於L4的小行星以希臘英雄來命名，其中位於L5的小行星以特洛依英雄來命名，有些小行星會在相對於木星的[=L4和L5=]間來回運行，好像兩軍交戰。再加上之前在高中研發人才培育計畫中，曾經接觸過拉格朗日點[=(Lagrange Point)=]上的小行星軌道穩定運動，感覺很有趣，於是想再深入探討位於拉格朗日點[=(L4和L5)=]上的小行星群的特性及其軌跡變化情形。
!!貳、研究目的:
->利用網路上可以免費取得的軟體來研究位於拉格朗日點上的小行星運動特性，利用直接計算小行星的軌跡變化情形，找出在L4及L5附近的穩定軌道初始的位置。
!!參、研究設備及器材:
->一、硬體
-->個人電腦(PC) 3部
->二、軟體
-->1、[[http://www.debian.org Debian Linux]] 作業系統
-->2、[[http://phys.thu.edu.tw/~ctshih/teach/fortran/f1.htm G77]] 
--->FORTRAN 77版, 簡易的科學程式
-->3、[[http://phi.sinica.edu.tw/aspac/reports/95/95006/ Gnuplot]] 
--->科學繪圖軟體

!!肆、研究過程或方法:
->一、將所需作業系統、軟體及相關套件安裝完畢。

->二、計算公式的推導:
-->設{$\Large F$}為萬有引力,{$\Large A$}向心加速度,{$\Large M$}、{$\Large m$}分別為兩顆天體的質量,{$\Large R$}為兩顆天體間距離,{$\Large G$}為萬有引力常數,{$\Large {(X_1,Y_1,Z_1)}$}、{$\Large {(X_2,Y_2,Z_2)}$}分別為他們的初始位置,計算時間間隔為{$\Large\Delta t$},{$\Large A_{X0},A_{Y0},A_{Z0}$}為初始的加速度分量,{$\Large V_{X0},V_{Y0},V_{Z0}$}為初始的速度


-->由牛頓的第二運動定律和萬有引力定律可知:

-->{$\Large\longrightarrow F=mA=\frac {GMm} {R^2}$}

-->{$\Large\longrightarrow A=\frac {GM} {R^2}$}

-->那我們再把A拆解為x方向分量,Y方向分量,Z方向分量:

-->{$\Large\longrightarrow A_X=A_{X0}+A\time\frac {X_1-X_2} {R} $}

-->{$\Large\longrightarrow A_Y=A_{Y0}+A\time\frac {Y_1-Y_2} {R} $}

-->{$\Large\longrightarrow A_Z=A_{Z0}+A\time\frac {Z_1-Z_2} {R} $}
-->那我們又可以由加速度算出後來的速度:{$\Large\Delta V=A \time \Delta t$},所以後來的速度{$\Large V=$}初始速度{$\Large +\Delta V$}

-->{$\Large\longrightarrow V_X=V_{X0}+A_X\time{\Delta}t $}

-->{$\Large\longrightarrow V_Y=V_{Y0}+A_Y\time{\Delta}t $}

-->{$\Large\longrightarrow V_Z=V_{Z0}+A_Z\time{\Delta}t $}

-->我們又可以由速度推得後來的位置:位移{$\Large\Delta S=V\time\Delta t$},所以後來的位置{$\Large S=$}初始位置{$\Large +\Delta S$}


-->{$\Large\longrightarrow X=X_2+V_X\time{\Delta}t $}

-->{$\Large\longrightarrow Y=Y_2+V_Y\time{\Delta}t $}

-->{$\Large\longrightarrow Z=Z_2+V_Z\time{\Delta}t $}

->三、座標的轉換:
-->(一)平移
--->設太陽、木星、小行星的初始位置分別為{$\Large(X_{S0},Y_{S0})$}、{$\Large(X_{J0},Y_{J0})$}、{$\Large(X_{A0},Y_{A0})$}。
--->後來計算的位置分別為{$\Large(X_{S1},Y_{S1})$}、{$\Large(X_{J1},Y_{J1})$}、{$\Large(X_{A1},Y_{A1})$}。

--->平移{$\longrightarrow$}{$\Large(0,0)$}{$\Large(X_{J1}-X_{S1},Y_{J1}-Y_{S1})$}、{$\Large(X_{A1}-X_{S1},Y_{A1}-Y_{S1})$}
-->(二)旋轉
--->利用複數座標系旋轉的方法:設平移後之太陽-木星連線與原來之太陽-木星連線夾 正{$\Large\theta$}角,後來座標旋轉負 {$\Large\theta$}角,則所得座標即為轉動座標系,此座標即以太陽為原點,太陽-木星連線為X軸。

--->平移及旋轉後之座標{$\longrightarrow$}

--->Sun:

--->{$\Large X_S = 0$}

--->{$\Large Y_S = 0$}

--->Jupiter:

--->{$\Large X_J=\Large(X_{J1}-X_{S1})\time cos(-\theta)-(Y_{J1}-Y_{S1})\time sin(-\theta)$}

--->{$\Large Y_J=\Large(X_{J1}-X_{S1})\time sin(-\theta)+(Y_{J1}-Y_{S1})\time cos(-\theta)$}

--->Asteroids:

--->{$\Large X_A=\Large(X_{A1}-X_{S1})\time cos(-\theta)-(Y_{A1}-Y_{S1})\time sin(-\theta)$}

--->{$\Large Y_A=\Large(X_{A1}-X_{S1})\time sin(-\theta)+(Y_{A1}-Y_{S1})\time cos(-\theta)$}

--->其中:

--->{$\Large sin(\theta) = \frac {(Y_{J1}-Y_{S1})} {\left| \vec {S_1J_1}\right|}$}

--->{$\Large cos(\theta) = \frac {(X_{J1}-X_{S1})} {\left| \vec {S_1J_1}\right|}$}
Attach:science2.f
!!伍、研究結果:
->一、角位置不同時的小行星穩定情形:
-->問題:模擬在轉動座標系中,小行星初始位置和原點的連線(即太陽-小行星連線)和X軸(即日-木連線)的夾角,對其軌跡的影響。
-->初始條件:
||align=center border=1 width=80%
||     ||質量 || X || Y || Z || Vx || Vy || Vz ||
||太陽|| {$\Large 1.98911\time10^{30}$} || 0 || 0 || 0 || 0 || 0 || 0  ||
||木星|| {$\Large 1.8986\time10^{27}$} || 5.2AU || 0 || 0 || 0 || {$V_J$} || 0  ||
||小行星 || {$\Large\longrightarrow 0$} || {$\Large R_J\time cos(\theta)$} || {$\Large R_J\time sin(\theta)$} || 0 ||{$\Large cos(\theta+90^\circ)V_J$} || {$\Large sin(\theta+90^\circ)V_J$} || 0 ||
-->其中:{$\Large V_J=\frac {2 \pi R_J} {T_J} =\frac {2\pi \time5.20336301AU} {3.74\time10^8}$},{$\Large\Delta t$}(時間間隔)為一天(86400秒),計算時間為十萬年。

-->固定變因:星體質量(其中小行星的質量視為趨近於零)、太陽和木星的初始位置、初速度。

-->操控變因:小行星位置、初速度。

-->下面的圖為小行星的軌跡可以穩定的存在於木星軌道上。

-->其中:小行星初始位置在{$\Large\60^\circ$}和{$\Large\{-60}^\circ$}({$\Large\{300}^\circ$})時，小行星和木星一起保持相同的距離繞日運動，此兩點即為拉格朗日點。

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-->下面的圖為小行星無法穩定存在於木星軌道上。

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->二、小行星公轉半徑的改變對其軌跡影響

問題︰在相同的夾角(即問題一之角度)中,小行星軌道的改變對其軌跡的影響。

-->初始條件:
||align=center border=1 width=80%
||     ||質量 || X || Y || Z || Vx || Vy || Vz ||
||太陽|| {$\Large 1.99\time10^{30}$} || 0 || 0 || 0 || 0 || 0 || 0  ||
||木星|| {$\Large 1.90\time10^{27}$} || 5.2AU || 0 || 0 || 0 || {$V_J$} || 0  ||
||小行星 || {$\Large\longrightarrow 0$} || {$\Large R_A\time cos(\theta)$} || {$\Large R_A\time sin(\theta)$} || 0 ||{$\Large \sqrt {\frac {R_A} {R_J} }cos(\theta+90^\circ)V_J$} || {$\Large \sqrt {\frac {R_A} {R_J} }sin(\theta+90^\circ)V_J$} || 0 ||
-->其中:{$\Large V_J=\frac {2 \pi R}T=\frac {2\pi \time5.2AU} {3.74\time10^8}$}

由克卜勒第三定律知: {$\Large {\frac {{R_A}^3} {{T_A}^2}} = {\frac {{R_J}^3} {{T_J}^2}}$},又{$\Large V_J= {\frac {2 \pi R_J} {T_J} }$}、{$\Large V_A={\frac {2 \pi R_A} {T_A} }$},即可得{$\longrightarrow$}{$\Large V_A =\sqrt{\frac {R_J} {R_A} }\time V_J$}

{$\Large\Delta t$}(時間間隔)為一天(86400秒),計算時間為十萬年。

-->固定變因:星體質量(其中小行星的質量視為趨近於零)、太陽和木星的初始位置、初速度。

-->操控變因:小行星位置、初速度。

--->本實驗中,只考慮{$\Large 60^\circ$}至{$\Large 300^\circ$}的位置。又由實驗一中得知{$\Large 150^\circ$}至{$\Large 210^\circ$}的位置,小行星無法穩定的存在於木星軌道,所以本實驗亦不考慮。又由計算結果發現從{$\Large 225^\circ$}至{$\Large 300^\circ$}和從{$\Large 60^\circ$}至{$\Large 135^\circ$}大致相同,故只挑選幾張代表的圖。

--->(一)、小行星在木星軌道外側:

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--->(二)、小行星在木星內側:

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---->從圖中可以大致發現,當小行星距離拉格朗日點越近時,小行星可以較遠離木星軌道，而還能穩定的存在其原來軌道上，反之，當小行星距離拉格朗日點越遠時，小行星則須距離其原有軌道較近，才能穩定的位於其軌道上。

!!陸、討論:
->1.從圖.1到圖.8中可以發現，小行星的初始相位角距L4和L5愈遠時，小行星在繞行太陽的過程中，相對於木星運動的擺動幅度就愈大。
->2.從圖.13到圖.24中，可以歸納出圖.27的結果，小行星在計算十萬年內，位於圖.27及圖.28的區塊是可以穩定的。但小行星初始相位角距L4及L5愈遠時，其可偏移的軌道半徑就愈小。
!!柒、結論:
->一、在十萬年的模擬中，小行星與X軸的夾角由{$\Large 30^\circ$}至{$\Large 135^\circ$}和{$\Large 225^\circ$}至{$\Large 330^\circ$}時,小行星可以穩定的在其原有軌道上運行。並相對於木星做來回的運行，其中{$\Large 60^\circ$}和{$\Large -60^\circ$}的這兩點很穩定的一直存在於其原來位置上，並未對木星作相對運動，此兩個點即為拉格朗日點所在。

->二、在十萬年的模擬中，初始位置在{$\Large 60^\circ$}、{$\Large 75^\circ$}、{$\Large 90^\circ$}的小行星想穩定存在軌道上,則偏離軌道不得超過百分之四{$ R_J $}(木星公轉半徑),而在{$\Large 105^\circ$}、{$\Large 120^\circ$}、{$\Large 135^\circ$}的小行星則分別不可偏離超過百分之三{$R_J$}、百分之二{$R_J$}、百分之一{$R_J$}，其餘在{$\Large 225^\circ$}之後的小行星大致上和前面一致。由角度和最大偏移量來看,可發現小行星距拉格朗日點的遠近影響其最大可偏移軌道量,愈遠,則越小,越近,則越大。
!!捌、參考資料及其他:

恆星系統與三體運動穩定性的模擬探討, 高雄中學:陳威尹&謝俊駒, 第四十屆高中地科科展第一名

小行星對於地球原始海水的貢獻, 游大立, 碩士論文

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{$\Large 30^\circ$}{$\Large -30^\circ$}